La probabilidad y el cálculo de probabilidades

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El origen de la probabilidad

El hombre se ha planteado problemas relacionados con los juegos de azar prácticamente desde su creación, pero tenemos constancia de ello desde la edad media.

El primero en estudiar estos problemas desde un punto de vista científico fue Blaise Pascal en 1645.

Pascal se interesó por el asunto tras una serie de conversaciones con un jugador profesional, que le planteo distintos problemas.

El matemático a su vez compartió los problemas con otros estudiosos interesados como el abogado Piere Gernat, en una serie de cartas que se consideran el origen del cálculo de probabilidades.

En 1665 Pascal publicó “Tratado sobre el triangulo aritmético”, el mayor estudio de combinatoria publicado hasta el momento.

La definición clásica de probabilidad tal y como la conocemos llegó más tarde de la mano de Jacob Bernouilli que creo un enfoque más generalista.

El los siglos XVII y XIX se desarrollaron muchas de las teorías que han llegado hasta nuestros días y que se estudiaran en esta unidad.

Cabe destacar de estos siglos las contribuciones Abraham De Moivre, que expuso la distribución binomial como continuación de los estudios de Bernouilli y aportó resultados como la definición de sucesos disjuntos, el concepto de independencia estadística o el teorema de la suma de probabilidades.

Cuenta la leyenda que De Moivre fue capaz de predecir la fecha de su propia muerte: tras observar que cada día dormía 15 minutos más que el anterior, calculó que moriría cuando durmiese 24 horas. Años mas tarde, el reverendo Thomas Bayes publicó el teorema de Bayes basándose en gran parte en los estudios de De Moivre.

Otro autor relevante de esta época fue Pierre-Simon Laplace, que mejoró el teorema de Bayes y encontró aplicaciones de la teoría de probabilidades en distintas ciencias.

Conceptos básicos

Definición.- Experimento aleatorio

Un Experimento aleatorio es cualquier acción que puede dar lugar a diferentes posibles resultados, conocidos a priori, pero no existe certeza de cual sucederá.

Ejemplos.- Lanzar una moneda, lanzar un dado, el número de clientes que compraran un producto, el número de visitas de una web, la cotización diaria de una acción…

Definición.- Espacio muestral

El Espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados a los que puede dar lugar un experimento aleatorio.

Definición.- Suceso elemental

Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados a los que puede dar lugar un experimento aleatorio. El conjunto de todos los sucesos elementales es por tanto el Espacio muestral.

Definición.- Suceso compuesto o simplemente suceso

Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos elementales o dicho de otro modo un subconjunto del espacio muestral.

Definición.- Suceso seguro

Es el suceso que incluye todos los elementos del espacio muestral. üDefinición.- Suceso vacío

Es el suceso que no incluye ninguno de los elementos incluidos en el espacio muestral.

Ejemplo.- Si consideramos el experimento aleatorio lanzar un dado y observar el resultado de la cara superior tendremos:

Unión de sucesos: S₁∪ S₂

Llamaremos unión de sucesos al suceso que incluye todos los sucesos elementales comunes y no comunes a los sucesos considerados.

Intersección de sucesos: S₁∩ S₂

Llamaremos intersección de sucesos al suceso que incluye todos los sucesos elementales comunes a los sucesos considerados.

Sucesos disjuntos

Diremos que dos sucesos son disjuntos cuando no tengan elementos comunes, o dicho de otro modo si su intersección es el suceso vacío.

S₁ y S₂ son disjuntos si S₁ ∩ S₂ = ∅

Partición del Espacio Muestral

Una partición del espacio muestral es un conjunto de sucesos disjuntos dos a dos cuya unión es igual al espacio muestral.

Ejemplo.- En el experimento del dado, un ejemplo de partición del espacio muestral sería:

Suceso complementario

El complementario de un suceso $S$ se denota por $S*$ , $\overline{S}$ o $\neg S$ , es el suceso que incluye todos los elementos del espacio muestral que no están en S.

La unión de un suceso con su complementario es el espacio muestral.
La intersección de un suceso con su complementario es el suceso vacío.
Un suceso y su complementario forman una partición del espacio muestral.

Ejemplo.- En el experimento del dado, un ejemplo de sucesos complementarios sería:

Concepto de probabilidad

Definición.- Probabilidad

La probabilidad es una medida del grado de incertidumbre de los sucesos de un experimento aleatorio.

Se trata por tanto de la forma de cuantificar las posibilidades que tiene de presentarse cada suceso del experimento.

Para abordar esta tarea de cuantificar la incertidumbre existen dos enfoques diferenciados:

El enfoque frecuentista
El enfoque bayesiano

Concepto de probabilidad frecuentista

Introduciremos este enfoque con un ejemplo clásico: “Lanzar una moneda”. Asumimos que la probabilidad de obtener cara es ½, pero, ¿Qué significa?

Para demostrar que la probabilidad de obtener cara es ½, Karl Pearson lanzó una moneda 24.000 veces y obtuvo 12.012 caras.

$\frac{12012}{24000}=0,5005$

Desde el punto de vista frecuentista, la probabilidad es el límite de la frecuencia relativa de casos favorables que se obtienen al repetir un experimento aleatorio infinitas veces, es decir,

$P(S)= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{N(S)}{n}$

Problema: ¿Y si el experimento no se puede repetir?

Concepto de probabilidad bayesiano

La estadística bayesiana está basada en el Teorema de Bayes, que estudiaremos a continuación. La idea intuitiva es que obtendremos la probabilidad de un suceso, basándonos en nuestro conocimiento sobre el mismo y, si es posible, en la repetición del experimento o en su caso la observación de la muestra.

Tendremos como punto de partida la probabilidad a priori, basada en nuestro conocimiento sobre el suceso, y a partir de ella obtendremos la probabilidad a posteriori, teniendo en cuenta la observación del experimento.

La estadística bayesiana comenzó a desarrollarse con más fuerza a partir de los años 90, gracias a la capacidad de computación que trajeron los ordenadores. En la actualidad está en auge y se utiliza en numerosas áreas de la ciencia y en el mundo empresarial, por su aplicabilidad. Son ejemplos de ello la auditoria o las ayudas de numerosos programas como el paquete office.

Propiedades del cálculo de probabilidades

Axiomática de Kolmogorov

La probabilidad de un suceso S se denomina P(S). Para ella definiremos los tres axiomas de Kolmogorov del siguiente modo:

$0 \leq P(S) \leq 1$
$P( \Omega )=1$
Para cualquier conjunto de sucesos disjuntos dos a dos se cumple que la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades, $P(S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_k )=\sum_{i=1}^k P(S_i)$

Estos axiomas se asumen como válidos y no requieren demostración. Otras propiedades importantes del cálculo de probabilidades son:

La probabilidad del suceso vacío es igual a cero: $P(\emptyset)=0$ .
Para cualquier partición del espacio muestral se cumple que la probabilidad de la unión de los sucesos que la componen es igual a 1.
La probabilidad del suceso complementario se puede obtener siempre a partir de la probabilidad del suceso: $P((\overline{S}_1 ))=1-P(S_1 )$ .
La probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera se puede obtener del siguiente modo: $P(S_1 \cup S_2 ) = P(S_1 ) + P(S_2 ) - P(S_1 \cap S_2)$ .

Ejemplo 1.-

Considérese un dado de 6 caras no equilibrado, para el que las probabilidades de obtener cada una de sus caras son las siguientes:

P(1)=0’2, P(2)=0’05, P(3)=0’2, P(4)=0’1, P(5)=0’25, P(6)=0’2.

Calcule las siguientes probabilidades:

a) Probabilidad de lanzar el dado y obtener un número par.

b) Probabilidad de lanzar el dado y obtener un número impar.

c) Obtenga una partición el espacio muestral, calcule las probabilidades de los sucesos que la componen y compruebe se suman 1.

Solución.-

a) Probabilidad de lanzar el dado y obtener un número par.

$P(par) = P(\{2\}, \{4\}, \{6\}) = 0,05 + 0,1 + 0,2 = 0,35$

b) Probabilidad de lanzar el dado y obtener un número impar.

$P(impar) = P(\{1\}, \{3\}, \{5\}) = 0,2 + 0,2 + 0,25 = 0,65$

c) Obtenga una partición el espacio muestral, calcule las probabilidades de los sucesos que la componen y compruebe se suman 1.

$S_1 = \{1,3\}, S_2 = \{6\} \ y \ S_3 = \{2,4,5\}$

$P(S_1 ) = P(\{1\}, \{3\}) = 0,2 + 0,2 = 0,4$

$P(S_2 ) = P(\{6\}) = 0,2$

$P(S_3 ) = P(\{2\}, \{4\}, \{5\}) = 0,05 + 0,1 + 0,25 = 0,4$

$P(S_1 ) + P(S_2 ) + P(S_3 ) = 0,4 + 0,2 + 0,4 = 1$

Ejemplo 2.-

Considere el experimento aleatorio “lanzar dos dado equilibrados” y considere los siguientes sucesos:

$S_1$ = “La suma de los dos números que salen es par”.

$S_2$ =“Sale al menos un uno”.

Calcule las probabilidades de los sucesos $S_1 \cup S_2, S_1 \cap S_2, \overline{S_1} \cap S_2, \overline {S_1 \cap S_2}$

Solución.-

Primero escribiremos los posibles resultados que se pueden obtener al lanzar los dos dados y marcaremos en amarillo el suceso $S_1$ = “La suma de los dos números que salen es par” y con un recuadro el suceso x S_2&s=2$ =“Sale al menos un uno”. Esto nos permitirá calcular fácilmente las probabilidades de cada uno de los sucesos, así como la probabilidad de la intersección de ambos sucesos, simplemente sumando los sucesos disjuntos incluidos en estas.